Hook · 도입
"합이 5, 곱이 6 인 두 정수를 찾을 수 있을까?"
조금만 생각하면 $2, 3$ 이 답이라는 걸 알 수 있다. $2+3=5$, $2\cdot 3 = 6$. 그래서 $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$. 이 게임이 바로 두 일차식 인수분해의 본질이다.
$x^2 + 5x + 6$ → 합 5, 곱 6 → 2, 3 → $(x+2)(x+3)$
$x^2 - 7x + 12$ → 합 −7, 곱 12 → −3, −4 → $(x-3)(x-4)$
$x^2 + 2x - 15$ → 합 2, 곱 −15 → 5, −3 → $(x+5)(x-3)$
$x^2 - 4x - 21$ → 합 −4, 곱 −21 → −7, 3 → $(x-7)(x+3)$
$x^2 - 7x + 12$ → 합 −7, 곱 12 → −3, −4 → $(x-3)(x-4)$
$x^2 + 2x - 15$ → 합 2, 곱 −15 → 5, −3 → $(x+5)(x-3)$
$x^2 - 4x - 21$ → 합 −4, 곱 −21 → −7, 3 → $(x-7)(x+3)$
Core · 개념
두 인수분해 공식
Two Identities
①$x^2$ 의 계수가 1인 경우
$x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$
전략. 일차항 계수가 $a+b$, 상수항이 $ab$ — 즉 합과 곱이 정해진 두 수를 찾는다.
먼저 상수항의 약수 쌍을 모두 적은 뒤, 그 중 합이 일차항 계수가 되는 쌍을 고른다.
먼저 상수항의 약수 쌍을 모두 적은 뒤, 그 중 합이 일차항 계수가 되는 쌍을 고른다.
②$x^2$ 의 계수가 1이 아닌 경우
$acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)$
전략. 십자곱셈법(X-method) 사용.
$ac$ 를 $a\cdot c$ 로, $bd$ 를 $b\cdot d$ 로 분해해 본 뒤, 대각선 곱 $ad+bc$ 가 일차항 계수와 일치하는 조합을 찾는다.
$ac$ 를 $a\cdot c$ 로, $bd$ 를 $b\cdot d$ 로 분해해 본 뒤, 대각선 곱 $ad+bc$ 가 일차항 계수와 일치하는 조합을 찾는다.
Insight · 직관
부호 패턴 가이드
Sign Pattern Cheat Sheet
합과 곱의 부호로 두 수의 부호를 짐작한다
| 곱 (상수항) 부호 | 합 (일차항) 부호 | 두 수의 부호 | 예시 |
|---|---|---|---|
| 양수 + | 양수 + | 둘 다 양수 | x²+5x+6 → (+2)(+3) |
| 양수 + | 음수 − | 둘 다 음수 | x²−5x+6 → (−2)(−3) |
| 음수 − | 양수 + | 큰 쪽 양수 | x²+x−6 → (+3)(−2) |
| 음수 − | 음수 − | 큰 쪽 음수 | x²−x−6 → (−3)(+2) |
요약. 상수항 부호가 양수면 두 수 부호가 같다 (둘 다 +) 또는 (둘 다 −) — 일차항 부호로 결정.
상수항 부호가 음수면 두 수 부호가 다르다 — 절댓값이 큰 쪽이 일차항 부호와 같다.
상수항 부호가 음수면 두 수 부호가 다르다 — 절댓값이 큰 쪽이 일차항 부호와 같다.
Method · 기법
십자곱셈법 (X-method)
Cross Multiplication
$ax^2 + bx + c$ ($a \neq 1$) 의 인수분해
예제. $2x^2 + 7x + 3$ 을 인수분해해 본다.
① $2x^2$ 을 $2x \cdot x$ 로 분해.
② $3$ 을 $1 \cdot 3$ 또는 $3 \cdot 1$ 로 분해.
③ 대각선 곱의 합이 $7x$ 가 되는 조합을 찾는다.
① $2x^2$ 을 $2x \cdot x$ 로 분해.
② $3$ 을 $1 \cdot 3$ 또는 $3 \cdot 1$ 로 분해.
③ 대각선 곱의 합이 $7x$ 가 되는 조합을 찾는다.
대각선 곱의 합 = 일차항 계수
대각선 곱이 $6x + x = 7x$ 로 일차항과 일치 → 가로로 읽으면 $(2x+1)(x+3)$.
결과 : $2x^2 + 7x + 3 = (2x+1)(x+3)$
결과 : $2x^2 + 7x + 3 = (2x+1)(x+3)$
Interactive · 실험실
두 수 탐색기
$x^2 + px + q$ Auto Finder
$x^2 + px + q$ 의 $p, q$ 를 입력하면 합과 곱이 일치하는 정수쌍을 자동 탐색한다.
Quick Check · 즉문즉답
5문제 즉시 점검
Five Rapid Questions
Q1. $x^2 + 5x + 6$ 을 인수분해하라.
Q2. $x^2 - 7x + 12$ 를 인수분해하라.
Q3. $x^2 + 2x - 15$ 를 인수분해하라.
Q4. $2x^2 + 7x + 3$ 을 인수분해하라.
Q5. $3x^2 + x - 2$ 를 인수분해하라.
Examples · 예제
풀이가 있는 두 예제
Worked Examples
예제 1
$x^2 - 3x - 10$ 을 인수분해하라.
상수항이 음수 → 두 수 부호가 다름. 일차항이 음수 → 절댓값이 큰 쪽이 음수.
- 곱이 $-10$ 인 두 정수: $(-1, 10), (-2, 5), (-5, 2), (-10, 1)$
- 합이 $-3$ 인 쌍: $-5 + 2 = -3$ ✓
- 두 수는 $-5$ 와 $2$ → $(x-5)(x+2)$
- 검증: $(x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10$ ✓
예제 2
$6x^2 - x - 12$ 를 인수분해하라.
$x^2$ 의 계수가 6 — 십자곱셈법으로 분해.
- $6x^2$ 을 $2x \cdot 3x$ 또는 $6x \cdot x$ 로 분해 시도.
- $-12$ 를 $(-3)\cdot 4, 3\cdot(-4), (-4)\cdot 3, ...$ 등으로 분해 시도.
- 대각선 곱의 합이 $-x$ 가 되는 조합을 찾는다.
- $\boxed{2x \;\;\; 3}$ 과 $\boxed{3x \;\;\; -4}$ 로 두면, 대각선 곱: $2x\cdot(-4) + 3x\cdot 3 = -8x + 9x = x$ → 부호 반대.
- $\boxed{2x \;\;\; -3}$ 과 $\boxed{3x \;\;\; 4}$ 로 두면, 대각선 곱: $2x\cdot 4 + (-3)\cdot 3x = 8x - 9x = -x$ ✓
- 결과 → $(2x-3)(3x+4)$
- 검증: $(2x-3)(3x+4) = 6x^2 + 8x - 9x - 12 = 6x^2 - x - 12$ ✓
Practice · 연습
난이도별 연습 8문제
Eight Graded Problems
01★
$x^2 + 7x + 6$ 을 인수분해하라.
02★
$x^2 - 7x + 10$ 을 인수분해하라.
03★
$x^2 + x - 12$ 를 인수분해하라.
04★★
$x^2 - 5x - 14$ 를 인수분해하라.
05★★
$2x^2 + 7x + 6$ 을 인수분해하라.
06★★
$3x^2 - 5x - 2$ 를 인수분해하라.
07★★★
$6x^2 - 5x - 6$ 을 인수분해하라.
08★★★
$x^2 + 3xy - 10y^2$ 을 인수분해하라.
합과 곱 — 그 두 수만 찾으면 끝난다
$x^2+px+q$ 꼴은 "합 $p$, 곱 $q$" 인 두 수 찾기 게임. 십자곱셈법은 그 게임의 확장판. 다음 차시에서는 인수분해를 수치 계산과 식의 값에 활용하며, 이차방정식 풀이의 토대로 이어간다.
"There is no royal road to algebra." — adapted from Euclid